緩和曲線のBTCからの曲線長から座標を算出

三次緩和曲線のBTC点からの曲線長算から座標を算出するには以下のようになります。
三次緩和曲線の一般式は次の形である。
$$y=\frac{x^3}{6XR},\hspace{.3cm}\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{2XR}$$
起点(BTC)からの曲線長は近似式は以下のものが使用されている。
$$ \ell =x+\frac{x^5}{40 \cdot R^2 \cdot X^2} $$
曲線長を示す式のテーラー展開の2項までを使用したものである。
$$ \ell = \int_0^x \sqrt {1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \cdot dx
= x + \frac{x^{5}}{40 R^{2} X^{2}}-\frac{x^{9}}{1152 R^{4}X^{4}} +\frac{x^{13}}{13312 R^{6} X^{6}}$$
前式は手で計算するときに使用した。現在であれば、後式が一般的である。
では、今回の目的である曲線長からxを算出する場合はどうであろう。
前式の場合、近似式として第２項にx=lを代入して近似式を求めた。
$$ x=\ell – \frac{ \ell ^5}{40R^2 X^2} $$
近似式であるので、条件によるが求めたxを長さを求める前式に代入すると誤差が出る。
便利な式であるが、やはり手計算の範囲で使用すべきと考えられる。
$$ f(x) = x + \frac{x^{5}}{40 R^{2} X^{2}}-\frac{x^{9}}{1152 R^{4}X^{4}} +\frac{x^{13}}{13312 R^{6} X^{6}} – \ell$$
としてnewton法により所定の長さになるxを求めるのが良いと思われる。